Капитализация: почему вклад растёт быстрее, чем ставка

Ставка 10% годовых не означает, что за десять лет деньги удвоятся. Они вырастут в два с половиной раза — если проценты начисляются на проценты. Разница между «просто» и «сложно» в этой арифметике даёт за длинный срок больше, чем разница в самой ставке, и именно её чаще всего недооценивают.

Сразу оговорка: ниже только арифметика. Какие ставки бывают, где держать деньги и стоит ли — вопросы не к формуле.

Простой процент и сложный

Простой начисляется всегда на первоначальную сумму. 100 000 под 10% дают 10 000 в год, и на пятый год — те же 10 000. За десять лет получится 200 000.

Сложный начисляется на сумму вместе с уже накопленными процентами. Второй год считается не от 100 000, а от 110 000, третий — от 121 000. За десять лет выходит 259 374, то есть почти на 60 тысяч больше при той же ставке.

Формула: итог = сумма × (1 + ставка)^число периодов. Степень здесь и есть вся разница: простой процент растёт по прямой, сложный — по кривой, и чем дальше, тем круче она загибается.

На коротком сроке разницы почти нет — за год её вообще не существует. Поэтому сложный процент и недооценивают: он ничего не даёт там, где на него смотрят, и всё даёт там, куда не заглядывают.

Частота капитализации

Второй параметр после ставки — как часто проценты причисляются к сумме. При одной и той же годовой ставке 12% итог за год будет разным:

• без капитализации — 12 000 на сто тысяч;
• ежеквартально — около 12 550;
• ежемесячно — около 12 683;
• ежедневно — около 12 747.

Прибавка от учащения быстро упирается в потолок: между «раз в год» и «раз в месяц» разница заметная, между «раз в день» и «раз в час» — уже нет. Поэтому в договорах и встречается ежемесячная или ежедневная капитализация, а дальше дробить смысла нет.

Калькулятор сложного процента считает по дням, а не по приближённой годовой формуле, и умеет ежемесячные пополнения — на длинном сроке они влияют на итог сильнее ставки.

Правило 72: прикидка в уме

Чтобы примерно понять, за сколько лет сумма удвоится, разделите 72 на ставку в процентах.

При 6% годовых — около 12 лет, при 12% — около 6, при 8% — около 9. Точность у правила порядка нескольких процентов на разумных ставках, и для прикидки в разговоре этого достаточно.

Работает оно и в обратную сторону: если что-то обещает удвоение за два года, это 36% годовых. Полезная проверка на реалистичность.

Инфляция съедает часть роста

Номинальная доходность — это то, что написано в договоре. Реальная — то, что осталось после инфляции, и считать нужно её.

Грубо: вычесть инфляцию из ставки. Точнее: разделить единицу плюс ставку на единицу плюс инфляцию и вычесть единицу. При ставке 10% и инфляции 7% грубый счёт даёт 3%, точный — 2,8%. На коротком сроке разница между способами несущественна, на длинном накапливается.

Смысл в том, что вклад под 10% при инфляции 12% растёт в рублях и уменьшается в том, что на эти рубли можно купить. Арифметика роста при этом не меняется — меняется знак результата.

Почему с курсами так не считают

Здесь важная граница. Всё выше опирается на ставку — заранее известный процент за период. У курса валюты или криптовалюты ставки нет: есть цена, которая меняется в обе стороны и не подчиняется формуле.

Калькулятор биткоина поэтому и не считает доходность — он переводит BTC, ETH и USDT в рубли, доллары и евро по текущему курсу и обратно. Это арифметика пересчёта, а не прогноза: курс берётся у агрегатора цен на момент запроса, и никакой формулы «через год будет столько» из него не следует.

Та же логика у обычных валют: конвертер валют считает по официальному курсу ЦБ на дату, а не предсказывает его.

Подставлять рост курса за прошлый год в формулу сложного процента и продлевать её в будущее — самая частая ошибка в разговорах про доходность. Формула не знает, что доходность может быть отрицательной, и уверенно рисует кривую вверх из данных, в которых её нет.

Коротко

• Сложный процент даёт за десять лет под 10% рост в 2,59 раза вместо 2.
• Разница появляется только на длинном сроке: за год её нет вовсе.
• Частота капитализации важна до ежемесячной, дальше прибавка почти не растёт.
• Правило 72: срок удвоения ≈ 72 / ставка. Работает и в обратную сторону как проверка обещаний.
• Реальная доходность = номинальная минус инфляция; при инфляции выше ставки она отрицательная.
• У курсов ставки нет. Пересчёт по курсу — не доходность, и продлевать его формулой сложного процента нельзя.