Дроби, проценты и двоичный код: одно число в разных записях

3/4, 0,75 и 75% — это одно и то же число, записанное тремя способами. 255 и FF — тоже одно и то же. Записей у числа много, и почти вся школьная арифметика, которая потом всплывает во взрослых задачах, сводится к переводу между ними без потери точности.

Дробь, десятичная запись и процент

Переходы простые, и их стоит держать в голове целиком.

Дробь в десятичную запись — разделить числитель на знаменатель: 3 ÷ 4 = 0,75. Десятичную в процент — умножить на 100: 0,75 → 75%. Процент в дробь — положить на 100 и сократить: 75/100 = 3/4.

Главная ловушка — деление на 100 и умножение на 100 в неверную сторону. Помогает проверка здравым смыслом: процент всегда в сто раз больше своей десятичной записи, и если получилось наоборот, знак перепутан. Пять типовых расчётов с процентами разобраны отдельно — как посчитать процент.

Почему обыкновенные дроби не отмирают

Казалось бы, зачем 7/8, если есть 0,875. Затем, что не всякая дробь записывается десятичной точно. 1/3 — это 0,333… без конца, и любая запись будет округлением. В расчёте, где такие числа складываются и умножаются, округления накапливаются, а обыкновенная дробь остаётся точной до последнего шага.

Правила арифметики при этом неудобны для устного счёта: складывать и вычитать можно только при общем знаменателе, умножение идёт «числитель на числитель, знаменатель на знаменатель», а деление — умножением на перевёрнутую дробь. Калькулятор дробей делает все четыре действия и сразу приводит результат к простейшему виду, чтобы 6/8 не тащилось дальше вместо 3/4.

Сокращение — не косметика. Пока дробь не сокращена, в ней лишний общий множитель, и на следующем шаге числа растут быстрее, чем нужно.

Пропорция: та же дробь, только с неизвестным

Когда две дроби равны друг другу, а одно из четырёх чисел неизвестно, получается пропорция: a/b = c/d. Решается правилом креста — произведение крайних членов равно произведению средних. Это тот же перевод между записями, просто в одну сторону неизвестно. Подробный разбор — как решить пропорцию.

Системы счисления: та же идея, другое основание

Привычная десятичная запись означает, что каждый разряд в десять раз весомее соседа справа: 364 — это 3×100 + 6×10 + 4×1.

Поменяйте десятку на двойку — получится двоичная система, где разряды весят 1, 2, 4, 8, 16 и так далее. Число 1101 в ней означает 8 + 4 + 0 + 1 = 13. Поменяйте на шестнадцать — шестнадцатеричная, где разрядов не хватает цифр, и после 9 идут буквы: A это 10, B — 11, и так до F — 15. Отсюда FF = 15×16 + 15 = 255.

Двоичная система нужна потому, что в ней всего два состояния, а их легко представить физически — есть ток или нет. Шестнадцатеричная — это компактная запись двоичной: каждая шестнадцатеричная цифра ровно соответствует четырём двоичным разрядам, и FF короче, чем 11111111, при том же смысле. Поэтому в ней пишут цвета (#FF8800) и адреса памяти.

Перевод между системами показывает разбор по разрядам, а не только итог — по нему видно, откуда взялась каждая цифра.

Почему 0,1 в двоичной не записывается точно

Тот же сюжет, что с 1/3 в десятичной, только в другую сторону.

В десятичной системе точно записываются дроби, знаменатель которых состоит из двоек и пятёрок: 1/2, 1/4, 1/5, 1/20. В двоичной — только из двоек: 1/2, 1/4, 1/8. А 0,1 — это 1/10, и в знаменателе есть пятёрка, которой в двоичной системе взяться неоткуда. Запись получается бесконечной периодической, и компьютер её округляет.

Отсюда знаменитое 0.1 + 0.2 === 0.30000000000000004 почти во всех языках программирования. Это не ошибка языка и не баг процессора: это то же самое, что записать треть десятичной дробью и удивиться, что три трети дали 0,999…. Практический вывод один — деньги не хранят в дробных числах с плавающей точкой, их считают в копейках целыми.

Коротко

• 3/4 = 0,75 = 75% — одно число; процент в сто раз больше десятичной записи.
• Обыкновенная дробь точна там, где десятичная округляет: 1/3 десятичной не записывается.
• Сокращать нужно сразу, иначе лишний множитель тащится в следующие шаги.
• Разряд в системе счисления весит столько, каково основание: 10, 2 или 16.
• Буквы в шестнадцатеричной — просто цифры после девятки, A это 10, F это 15.
• 0,1 в двоичной бесконечна, потому что в её знаменателе пятёрка. Деньги считают целыми копейками.